Sea $S_n = \{1, 2,\cdots, n\}$ y $f_n : S_n \to S_n$ se define inductivamente como sigue: $f_1(1) = 1, f_n(2j) = j \ (j = 1, 2, \cdots , [n/2])$ y (i) si $n = 2k \ (k \geq 1)$ , entonces $f_n(2j - 1) = f_k(j) + k \ (j = 1, 2, \cdots, k);$ (ii) si $n = 2k + 1 \ (k \geq 1)$ , entonces $f_n(2k + 1) = k + f_{k+1}(1), f_n(2j - 1) = k + f_{k+1}(j + 1) \ (j = 1, 2,\cdots , k).$ Demuestre que $f_n(x) = x$ si y solo si $x$ es un entero de la forma \[\frac{(2n + 1)(2^d - 1)}{2^{d+1} - 1}\] para algún entero positivo $d.$