Los números $2, 2, ..., 2$ están escritos en una pizarra (el número $2$ se repite $n$ veces). Un paso consiste en elegir dos números de la pizarra, denotándolos como $a$ y $b$, y reemplazándolos con $\sqrt{\frac{ab + 1}{2}}$. $(a)$ Si $x$ es el número que queda en la pizarra después de $n - 1$ aplicaciones de la operación anterior, demuestre que $x \ge \sqrt{\frac{n + 3}{n}}$. $(b)$ Demuestre que hay infinitos números para los cuales se cumple la igualdad e infinitos para los cuales la desigualdad es estricta.