Los números $1, 2,\ldots, 2006$ están escritos alrededor de la circunferencia de un círculo. Un movimiento consiste en intercambiar dos números adyacentes. Después de una secuencia de tales movimientos, cada número termina $13$ posiciones a la derecha de su posición inicial. Si los números $1, 2,\ldots, 2006$ son particionados en $1003$ pares distintos, entonces demuestre que en al menos uno de los movimientos, los dos números de uno de los pares fueron intercambiados.