Sean $ n$ y $ k$ enteros positivos con $ k \geq n$ y $ k - n$ un número par. Sean $ 2n$ lámparas etiquetadas $ 1$ , $ 2$ , ..., $ 2n$ dadas, cada una de las cuales puede estar encendida o apagada. Inicialmente todas las lámparas están apagadas. Consideramos secuencias de pasos: en cada paso una de las lámparas se cambia (de encendida a apagada o de apagada a encendida). Sea $ N$ el número de tales secuencias que consisten en $ k$ pasos y resultan en el estado donde las lámparas $ 1$ hasta $ n$ están todas encendidas, y las lámparas $ n + 1$ hasta $ 2n$ están todas apagadas. Sea $ M$ el número de tales secuencias que consisten en $ k$ pasos, resultando en el estado donde las lámparas $ 1$ hasta $ n$ están todas encendidas, y las lámparas $ n + 1$ hasta $ 2n$ están todas apagadas, pero donde ninguna de las lámparas $ n + 1$ hasta $ 2n$ es nunca encendida. Determine $ \frac {N}{M}$ .