Sean $ a, b \in \mathbb{N}$ con $ 1 \leq a \leq b,$ y $ M = \left[\frac {a + b}{2} \right].$ Define una función $ f: \mathbb{Z} \mapsto \mathbb{Z}$ por\n\[ f(n) = \begin{cases} n + a, & \text{si } n \leq M, \\\nn - b, & \text{si } n >M. \end{cases}\n\]\nSea $ f^1(n) = f(n),$ $ f_{i + 1}(n) = f(f^i(n)),$ $ i = 1, 2, \ldots$ Encuentra el número natural más pequeño $ k$ tal que $ f^k(0) = 0.$