Si $x,y,z$ son números reales que satisfacen las relaciones \[x+y+z = 1 \quad \textrm{y} \quad \arctan x + \arctan y + \arctan z = \frac{\pi}{4},\] demostrar que $x^{2n+1} + y^{2n+1} + z^{2n+1} = 1$ se cumple para todos los enteros positivos $n$.