Suponga que la secuencia $\{a_n\}$ satisface $a_1=1$ y $a_{2k}=a_{2k-1}+a_k, \quad a_{2k+1}=a_{2k}$ para $k=1,2, \ldots$ Demuestre que $a_{2^n}< 2^{\frac{n^2}{2}}$ para cualquier entero $n \geq 3$ .