Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $D \in [BC]$ variable. Denotemos por $E, F$ los pies de las perpendiculares desde $D$ a $AB$, $AC$ respectivamente. a) Demuestra que $$\frac{4S^2}{b^2+c^2}\le DE^2 + DF^2\le max \{h_B^2 + h_C^2 \}.$$ b) Demuestra que, si $D_0 \in [BC]$ es el punto donde se alcanza el mínimo de la suma $DE^2 + DF^2$, entonces $D_0$ es la pierna de la mediana simétrica de $A$ que mira a la bisectriz del ángulo $A$. c) Especifica la posición de $D \in [BC]$ para la cual se alcanza el máximo de la suma $DE^2 + DF^2$. (El área del triángulo $ABC$ se denota por $S$ y $h_b, h_c$ son las longitudes de las altitudes desde $B$ y $C$ respectivamente)