Para cualquier entero positivo n, sea $\varphi(n)$ la cantidad de enteros en el conjunto $\{1, 2, \ldots , n\}$ cuyo máximo común divisor con $n$ es 1. Determine el valor máximo de $\frac{n}{\varphi(n)}$ para $n$ en el conjunto $\{2, \ldots, 1000\}$ y todos los valores de $n$ para los cuales se alcanza este máximo.