Los siguientes $100$ números están escritos en la pizarra: $$2^1 - 1, 2^2 - 1, 2^3 - 1, \dots, 2^{100} - 1.$$ Alicia elige dos números $a,b,$ los borra y escribe el número $\dfrac{ab - 1}{a+b+2}$ en la pizarra. Ella sigue haciendo esto hasta que quede un solo número en la pizarra. Si la suma de todos los números posibles con los que puede terminar es $\dfrac{p}{q}$ donde $p, q$ son coprimos, entonces, ¿cuál es el valor de $\log_{2}(p+q)$ ?