El círculo $x^2+ y^2 = r^2$ se encuentra con el eje de coordenadas en $A = (r,0), B = (-r,0), C = (0,r)$ y $D = (0,-r).$ Sean $P = (u,v)$ y $Q = (-u,v)$ dos puntos en la circunferencia del círculo. Sea $N$ el punto de intersección de $PQ$ y el eje $y$, y $M$ el pie de la perpendicular trazada desde $P$ al eje $x$. Si $r^2$ es impar, $u = p^m > q^n = v,$ donde $p$ y $q$ son números primos y $m$ y $n$ son números naturales, demuestre que \[ |AM| = 1, |BM| = 9, |DN| = 8, |PQ| = 8. \]