El triángulo $ABC$ tiene circuncírculo $\Omega$ y circuncentro $O$ . Un círculo $\Gamma$ con centro $A$ interseca el segmento $BC$ en los puntos $D$ y $E$ , de modo que $B$ , $D$ , $E$ , y $C$ son todos diferentes y están en la línea $BC$ en este orden. Sean $F$ y $G$ los puntos de intersección de $\Gamma$ y $\Omega$ , de modo que $A$ , $F$ , $B$ , $C$ , y $G$ están en $\Omega$ en este orden. Sea $K$ el segundo punto de intersección del circuncírculo del triángulo $BDF$ y el segmento $AB$ . Sea $L$ el segundo punto de intersección del circuncírculo del triángulo $CGE$ y el segmento $CA$ . Suponga que las líneas $FK$ y $GL$ son diferentes y se intersecan en el punto $X$ . Demuestre que $X$ está en la línea $AO$ .