Sea $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ una función no decreciente, $f \in C^1,$ para la cual $f(0) = 0.$ Sea $g:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ una función definida por \[ g(x) = f(x) + (x - 1) f'(x), \forall x \in [0,1]. \] a) Demostrar que \[ \int_{0}^{1} g(x) \text{dx} = 0. \] b) Demostrar que para todas las funciones $\phi :[0,1] \rightarrow [0,1],$ convexas y diferenciables con $\phi(0) = 0$ y $\phi(1) = 1,$ se cumple la desigualdad \[ \int_{0}^{1} g( \phi(t)) \text{dt} \leq 0. \]