En un triángulo equilátero de lado 6, se colocan clavijas en los vértices y también uniformemente a lo largo de cada lado a una distancia de 1 entre sí. Se eligen cuatro clavijas distintas de las 15 clavijas interiores en los lados (es decir, las elegidas no son vértices del triángulo) y cada clavija se une al vértice opuesto respectivo mediante un segmento de línea. Si $N$ denota el número de formas en que podemos elegir las clavijas de modo que los segmentos de línea dibujados dividan el interior del triángulo en exactamente nueve regiones, encuentra la suma de los cuadrados de los dígitos de $N$.