$(a)$ Demostrar que para $a, b, c, d \in\mathbb{R}, m \in [1,+\infty)$ con $am + b =-cm + d = m$ , $\displaystyle (i)\sqrt{a^2 + b^2}+\sqrt{c^2 + d^2}+\sqrt{(a-c)^2 + (b-d)^2}\ge \frac{4m^2}{1+m^2},\text{ and}$ $\displaystyle (ii) 2 \le \frac{4m^2}{1+m^2} < 4.$ $(b)$ Expresar $a, b, c, d$ como funciones de $m$ para que haya igualdad en $(i).$