Sea $ABC$ un triángulo para el cual $AB \neq AC$. Los puntos $K$, $L$, $M$ son los puntos medios de los lados $BC$, $CA$, $AB$. La circunferencia inscrita de $ABC$ con centro $I$ es tangente a $BC$ en $D$. Una línea que pasa por el punto medio de $ID$ perpendicular a $IK$ se encuentra con la línea $LM$ en $P$. Demostrar que $\angle PIA = 90 ^{\circ}$.