$\triangle ABC$ es un triángulo tal que $\angle A = 60^{\circ}$. El incentro de $\triangle ABC$ es $I$. $AI$ interseca a $BC$ en $D$, $BI$ interseca a $CA$ en $E$, y $CI$ interseca a $AB$ en $F$, respectivamente. Además, la circunferencia circunscrita de $\triangle DEF$ es $\omega$. La línea tangente a $\omega$ en $E$ y $F$ se intersecan en $T$. Demuestre que $\angle BTC \ge 60^{\circ}$