Ana y Bob, comenzando Ana primero, alternativamente colorean los enteros del conjunto $S = \{1, 2, ..., 2022 \}$ rojo o azul. En su turno, cada uno puede colorear cualquier número sin colorear de $S$ que desee con cualquier color que desee. El juego termina cuando todos los números de $S$ son coloreados. Sea $N$ el número de pares $(a, b)$ , donde $a$ y $b$ son elementos de $S$ , tales que $a$ , $b$ tienen el mismo color, y $b - a = 3$ . Ana desea maximizar $N$ . ¿Cuál es el valor máximo de $N$ que puede alcanzar independientemente de cómo juegue Bob?