Pruebe que existe una función $f : \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$ que satisface lo siguiente: ___ 1. Para todos los enteros positivos $m, n$ tenemos \[\gcd(|f(m)-f(n)|, f(mn)) = f(\gcd(m, n))\] ___ 2. Para todos los enteros positivos $m$ , tenemos $f(f(m)) = f(m)$ . ___ 3. Para todos los enteros positivos $k$ , existe un entero positivo $n$ con $2024^{k} \mid f(n)$ .