Las 27 celdas de una cuadrícula de \(3 \times 9\) se llenan usando los números del \(1\) al \(9\) de modo que cada fila contenga 9 números diferentes, y cada uno de los tres bloques de \(3 \times 3\) marcados con líneas gruesas en el ejemplo de abajo contenga 9 números diferentes, como en las primeras tres filas de un Sudoku. [asy] unitsize(20); add(grid(9,3)); draw((0,0)--(9,0)--(9,3)--(0,3)--cycle, linewidth(2)); draw((3,0)--(3,3), linewidth(2)); draw((6,0)--(6,3), linewidth(2)); real a = 0.5; label("5",(a,a)); label("6",(1+a,a)); label("1",(2+a,a)); label("8",(3+a,a)); label("4",(4+a,a)); label("7",(5+a,a)); label("9",(6+a,a)); label("2",(7+a,a)); label("3",(8+a,a)); label("3",(a,1+a)); label("7",(1+a,1+a)); label("9",(2+a,1+a)); label("5",(3+a,1+a)); label("2",(4+a,1+a)); label("1",(5+a,1+a)); label("6",(6+a,1+a)); label("8",(7+a,1+a)); label("4",(8+a,1+a)); label("4",(a,2+a)); label("2",(1+a,2+a)); label("8",(2+a,2+a)); label("9",(3+a,2+a)); label("6",(4+a,2+a)); label("3",(5+a,2+a)); label("1",(6+a,2+a)); label("7",(7+a,2+a)); label("5",(8+a,2+a)); [/asy] El número de formas diferentes de llenar tal cuadrícula se puede escribir como \(p^a \cdot q^b \cdot r^c \cdot s^d\) donde \(p\), \(q\), \(r\) y \(s\) son números primos distintos y \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) son enteros positivos. Encuentra \(p \cdot a + q \cdot b + r \cdot c + s \cdot d\).