En un círculo, cuerdas paralelas de longitudes 2, 3 y 4 determinan ángulos centrales de $\alpha$, $\beta$ y $\alpha + \beta$ radianes, respectivamente, donde $\alpha + \beta < \pi$. Si $\cos \alpha$, que es un número racional positivo, se expresa como una fracción en su forma más simple, ¿cuál es la suma de su numerador y su denominador?