El rectángulo \(ABCD\) está dividido en cuatro partes de igual área por cinco segmentos como se muestra en la figura, donde \(XY = YB + BC + CZ = ZW = WD + DA + AX\), y \(PQ\) es paralelo a \(AB\). Encuentra la longitud de \(AB\) (en cm) si \(BC = 19\) cm y \(PQ = 87\) cm. [asy] size(250); pair A=origin, B=(96,0), C=(96,22), D=(0,22), W=(16,22), X=(20,0), Y=(80,0), Z=(76,22), P=(24,11), Q=(72,11); draw(P--X--A--D--W--P--Q--Y--B--C--Z--Q^^W--Z^^X--Y); dot(A^^B^^C^^D^^P^^Q^^W^^X^^Y^^Z); pair point=(48,11); label("$A$", A, SW); label("$B$", B, SE); label("$C$", C, NE); label("$D$", D, NW); label("$P$", P, dir(point--P)); label("$Q$", Q, dir(point--Q)); label("$W$", W, N); label("$X$", X, S); label("$Y$", Y, S); label("$Z$", Z, N);[/asy]