Dos patinadoras, Allie y Billie, están en los puntos $A$ y $B$, respectivamente, sobre un lago congelado y plano. La distancia entre $A$ y $B$ es de $100$ metros. Allie sale de $A$ y patina a una velocidad de $8$ metros por segundo en línea recta que forma un ángulo de $60^\circ$ con $AB$. Al mismo tiempo que Allie sale de $A$, Billie sale de $B$ a una velocidad de $7$ metros por segundo y sigue la trayectoria recta que produce el encuentro más temprano posible de las dos patinadoras, dadas sus velocidades. ¿Cuántos metros patina Allie antes de encontrarse con Billie? [asy] defaultpen(linewidth(0.8)); draw((100,0)--origin--60*dir(60), EndArrow(5)); label("$A$", origin, SW); label("$B$", (100,0), SE); label("$100$", (50,0), S); label("$60^\circ$", (15,0), N);[/asy]