Dado un número real no negativo $x,$ sea $\langle x\rangle$ la parte fraccionaria de $x;$ es decir, $\langle x\rangle=x-\lfloor x\rfloor,$ donde $\lfloor x\rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $x.$ Supón que $a$ es positivo, $\langle a^{-1}\rangle=\langle a^2\rangle,$ y $2<a^2<3.$ Encuentra el valor de $a^{12}-144a^{-1}.$