En un cierto círculo, la cuerda de un arco de $d$ grados mide 22 centímetros de largo, y la cuerda de un arco de $2d$ grados es 20 centímetros más larga que la cuerda de un arco de $3d$ grados, donde $d<120.$ La longitud de la cuerda de un arco de $3d$ grados es $-m+\sqrt{n}$ centímetros, donde $m$ y $n$ son enteros positivos. Encuentra $m+n.$