Diez círculos de diámetro 1 están empaquetados en el primer cuadrante del plano coordenado como se muestra. Sea la región $\mathcal{R}$ la unión de las ocho regiones circulares. La recta $l,$ con pendiente 3, divide a $\mathcal{R}$ en dos regiones de igual área. La ecuación de la recta $l$ se puede expresar en la forma $ax=by+c,$ donde $a, b,$ y $c$ son enteros positivos cuyo máximo común divisor es 1. Encuentra $a^2+b^2+c^2.$ [asy] size(150);defaultpen(linewidth(0.7)); draw((6.5,0)--origin--(0,6.5), Arrows(5)); int[] array={3,3,2}; int i,j; for(i=0; i<3; i=i+1) { for(j=0; j<array[i]; j=j+1) { draw(Circle((1+2*i,1+2*j),1)); }} label("x", (7,0)); label("y", (0,7));[/asy]