9 círculos $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$ y $\mathcal{C}_3$ tienen sus centros en $(0,0)$, $(12,0)$ y $(24,0)$, y tienen radios 1, 2 y 4, respectivamente. La recta $t_1$ es una tangente interna común a $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ y tiene pendiente positiva, y la recta $t_2$ es una tangente interna común a $\mathcal{C}_2$ y $\mathcal{C}_3$ y tiene pendiente negativa. Dado que las rectas $t_1$ y $t_2$ se intersectan en $(x,y)$, y que $x=p-q\sqrt{r}$, donde $p$, $q$ y $r$ son enteros positivos y $r$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo, encuentra $p+q+r$.