10 Cuatro faros están ubicados en los puntos \( A \), \( B \), \( C \) y \( D \). El faro en \( A \) está a \( 5 \) kilómetros del faro en \( B \), el faro en \( B \) está a \( 12 \) kilómetros del faro en \( C \), y el faro en \( A \) está a \( 13 \) kilómetros del faro en \( C \). Para un observador en \( A \), el ángulo determinado por las luces en \( B \) y \( D \) y el ángulo determinado por las luces en \( C \) y \( D \) son iguales. Para un observador en \( C \), el ángulo determinado por las luces en \( A \) y \( B \) y el ángulo determinado por las luces en \( D \) y \( B \) son iguales. El número de kilómetros de \( A \) a \( D \) está dado por \( \displaystyle\frac{p\sqrt{r}}{q} \), donde \( p \), \( q \) y \( r \) son enteros positivos relativamente primos, y \( r \) no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Encuentra \( p+q+r \).