15 Hay $n$ matemáticos sentados alrededor de una mesa circular con $n$ asientos numerados $1,2,3,\cdots,n$ en orden horario. Después de un descanso, se sientan nuevamente alrededor de la mesa. Los matemáticos notan que existe un entero positivo $a$ tal que (1) para cada $k$, el matemático que estaba sentado en el asiento $k$ antes del descanso está sentado en el asiento $ka$ después del descanso (donde el asiento $i+n$ es el asiento $i$); (2) para cada par de matemáticos, el número de matemáticos sentados entre ellos después del descanso, contando tanto en sentido horario como antihorario, es diferente de cualquiera de los números de matemáticos sentados entre ellos antes del descanso. Encuentra el número de valores posibles de $n$ con $1<n<1000$.