9 Un triángulo equilátero de papel $ABC$ tiene lado de longitud $12$. El triángulo de papel se dobla de modo que el vértice $A$ toca un punto sobre el lado $\overline{BC}$ a una distancia $9$ del punto $B$. La longitud del segmento de línea a lo largo del cual se dobla el triángulo se puede escribir como $\frac{m\sqrt{p}}{n}$, donde $m$, $n$ y $p$ son enteros positivos, $m$ y $n$ son primos relativos, y $p$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Encuentra $m+n+p$. [asy] import cse5; size(12cm); pen tpen = defaultpen + 1.337; real a = 39/5.0; real b = 39/7.0; pair B = MP("B", (0,0), dir(200)); pair A = MP("A", (9,0), dir(-80)); pair C = MP("C", (12,0), dir(-20)); pair K = (6,10.392); pair M = (a*B+(12-a)*K) / 12; pair N = (b*C+(12-b)*K) / 12; draw(B--M--N--C--cycle, tpen); draw(M--A--N--cycle); fill(M--A--N--cycle, mediumgrey); pair shift = (-20.13, 0); pair B1 = MP("B", B+shift, dir(200)); pair A1 = MP("A", K+shift, dir(90)); pair C1 = MP("C", C+shift, dir(-20)); draw(A1--B1--C1--cycle, tpen);[/asy]