Considera los arreglos de los $9$ números $1, 2, 3, \dots, 9$ en una matriz de $3 \times 3$. Para cada uno de estos arreglos, sean $a_1$, $a_2$ y $a_3$ las medianas de los números en las filas $1$, $2$ y $3$ respectivamente, y sea $m$ la mediana de $\{a_1, a_2, a_3\}$. Sea $Q$ el número de arreglos para los cuales $m = 5$. Encuentra el residuo cuando $Q$ se divide entre $1000$.