10 La rueda que se muestra abajo consiste en dos círculos y cinco radios, con una etiqueta en cada punto donde un radio se encuentra con un círculo. Un insecto camina a lo largo de la rueda, comenzando en el punto \(A\) . En cada paso del proceso, el insecto camina de un punto etiquetado a un punto etiquetado adyacente. Por el círculo interior, el insecto solo camina en sentido contrario a las manecillas del reloj, y por el círculo exterior, el insecto solo camina en el sentido de las manecillas del reloj. Por ejemplo, el insecto podría viajar por la trayectoria \(AJABCHCHIJA\) , que tiene \(10\) pasos. Sea \(n\) el número de trayectorias con \(15\) pasos que comienzan y terminan en el punto \(A\) . Encuentra el residuo cuando \(n\) se divide entre \(1000\) . [asy] unitsize(32); draw(unitcircle); draw(scale(2) * unitcircle); for(int d = 90; d < 360 + 90; d += 72){ draw(2 * dir(d) -- dir(d)); } real s = 4; dot(1 * dir( 90), linewidth(s)); dot(1 * dir(162), linewidth(s)); dot(1 * dir(234), linewidth(s)); dot(1 * dir(306), linewidth(s)); dot(1 * dir(378), linewidth(s)); dot(2 * dir(378), linewidth(s)); dot(2 * dir(306), linewidth(s)); dot(2 * dir(234), linewidth(s)); dot(2 * dir(162), linewidth(s)); dot(2 * dir( 90), linewidth(s)); defaultpen(fontsize(10pt)); real r = 0.05; label("$A$", (1-r) * dir( 90), -dir( 90)); label("$B$", (1-r) * dir(162), -dir(162)); label("$C$", (1-r) * dir(234), -dir(234)); label("$D$", (1-r) * dir(306), -dir(306)); label("$E$", (1-r) * dir(378), -dir(378)); label("$F$", (2+r) * dir(378), dir(378)); label("$G$", (2+r) * dir(306), dir(306)); label("$H$", (2+r) * dir(234), dir(234)); label("$I$", (2+r) * dir(162), dir(162)); label("$J$", (2+r) * dir( 90), dir( 90)); [/asy]