El octágono $ABCDEFGH$ con longitudes de lado $AB = CD = EF = GH = 10$ y $BC = DE = FG = HA = 11$ se forma al quitar cuatro triángulos $6-8-10$ de las esquinas de un rectángulo de $23\times 27$ con el lado $\overline{AH}$ sobre un lado corto del rectángulo, como se muestra. Sea $J$ el punto medio de $\overline{HA}$, y divide el octágono en $7$ triángulos trazando los segmentos $\overline{JB}$, $\overline{JC}$, $\overline{JD}$, $\overline{JE}$, $\overline{JF}$ y $\overline{JG}$. Encuentra el área del polígono convexo cuyos vértices son los centroides de estos $7$ triángulos. [asy] unitsize(6); pair P = (0, 0), Q = (0, 23), R = (27, 23), SS = (27, 0); pair A = (0, 6), B = (8, 0), C = (19, 0), D = (27, 6), EE = (27, 17), F = (19, 23), G = (8, 23), J = (0, 23/2), H = (0, 17); draw(P--Q--R--SS--cycle); draw(J--B); draw(J--C); draw(J--D); draw(J--EE); draw(J--F); draw(J--G); draw(A--B); draw(H--G); real dark = 0.6; filldraw(A--B--P--cycle, gray(dark)); filldraw(H--G--Q--cycle, gray(dark)); filldraw(F--EE--R--cycle, gray(dark)); filldraw(D--C--SS--cycle, gray(dark)); dot(A); dot(B); dot(C); dot(D); dot(EE); dot(F); dot(G); dot(H); dot(J); dot(H); defaultpen(fontsize(10pt)); real r = 1.3; label("$A$", A, W*r); label("$B$", B, S*r); label("$C$", C, S*r); label("$D$", D, E*r); label("$E$", EE, E*r); label("$F$", F, N*r); label("$G$", G, N*r); label("$H$", H, W*r); label("$J$", J, W*r); [/asy]