12 El triángulo $\triangle ABC {}$ se encuentra en el plano $\mathcal P$ con $AB = 6, AC = 4,$ y $\angle BAC = 90^\circ.$ Sea $D$ la reflexión a través de $\overline{BC}$ del centroide de $\triangle ABC. {}$ Cuatro esferas, todas en el mismo lado de $\mathcal P,$ tienen radios $1, 2, 3,$ y $r$ y son tangentes a $\mathcal P$ en los puntos $A, B, C,$ y $D,$ respectivamente. Las cuatro esferas son también cada una tangente a un segundo plano $\mathcal T$ y están todas en el mismo lado de $\mathcal T.$ El valor de $r$ puede escribirse como $\tfrac mn,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Halle $m+n.$