Sea $n \geq 3$ un entero fijo. El número $1$ está escrito $n$ veces en un pizarrón. Debajo del pizarrón hay dos cubetas inicialmente vacías. Una jugada consiste en borrar dos de los números $a$ y $b$, reemplazándolos por los números $1$ y $a+b$, y luego agregar una piedra a la primera cubeta y $\gcd(a, b)$ piedras a la segunda cubeta. Después de un número finito de jugadas, hay $s$ piedras en la primera cubeta y $t$ piedras en la segunda cubeta, donde $s$ y $t$ son enteros positivos. Encuentra todos los valores posibles de la razón $\frac{t}{s}$.