4 Sea $k$ un entero impar mayor que $1$. Sobre una mesa hay $k$ montones de piedras: el primero tiene $1$ piedra, el siguiente tiene $2$ piedras, el siguiente tiene $3$ piedras, y así sucesivamente hasta el último, que tiene $k$ piedras. En el primer paso, se eligen $3$ montones y todas sus piedras se combinan en un nuevo montón, del cual se retira $1$ piedra. En el segundo paso, se eligen $3$ montones y todas sus piedras se combinan en un nuevo montón, del cual se retiran $2$ piedras. En general, en el paso $n$, se eligen $3$ montones y todas sus piedras se combinan en un nuevo montón, del cual se retiran $n$ piedras. Después de varios pasos, solo queda un único montón sobre la mesa, que contiene $p$ piedras. Demuestre que $p$ es un cuadrado perfecto si y solo si los números $2k+2$ y $3k+1$ son cuadrados perfectos. Halle el valor mínimo de $k$ para el cual $p$ es un cuadrado perfecto. Nota: En cada paso, las piedras que se retiran se descartan permanentemente.