5 Sea $n$ un entero positivo. Beto escribe en el pizarrón una lista de $n$ enteros no negativos. Luego realiza una sucesión de movimientos (dos pasos) del siguiente tipo: Primero, para cada $i=1,2,...,n$, cuenta cuántos números del pizarrón son menores o iguales que $i$. Sea $a_i$ el número obtenido para cada $i=1,2,...,n$. A continuación, borra todos los números del pizarrón y escribe los números $a_1,a_2,...,a_n$. Por ejemplo, si $n=5$ y los números iniciales en el pizarrón son $0,7,2,6,2$, después del primer movimiento los números en el pizarrón serán c $1,3,3,3,3$; después del segundo movimiento serán $1,1,5,5,5$, y así sucesivamente. $a)$ Demuestre que, para todo $n$ y toda configuración inicial, llegará un momento a partir del cual los números ya no se modificarán al usar este movimiento. $b)$ Halle (como función de $n$) el valor mínimo de $k$ tal que, para cualquier configuración inicial, los movimientos realizados a partir del movimiento número $k$ no cambiarán los números del pizarrón.