Suponga que $a_0, a_1, \cdots $ y $b_0, b_1, \cdots$ son dos sucesiones de enteros positivos tales que $a_0, b_0 \ge 2$ y \[ a_{n+1} = \gcd{(a_n, b_n)} + 1, \qquad b_{n+1} = \operatorname{lcm}{(a_n, b_n)} - 1. \] Demuestra que la sucesión $a_n$ es eventualmente periódica; en otras palabras, existen enteros $N \ge 0$ y $t > 0$ tales que $a_{n+t} = a_n$ para todo $n \ge N$ .