Sea $p$ un número primo, $n$ un número natural que no es divisible por $p$ , y $\mathbb{K}$ un campo finito, con $char(K) = p, |K| = p^n, 1_{\mathbb{K}}$ elemento unidad y $\widehat{0} = 0_{\mathbb{K}}.$ Para cada $m \in \mathbb{N}^{*}$ notamos $ \widehat{m} = \underbrace{1_{\mathbb{K}} + 1_{\mathbb{K}} + \ldots + 1_{\mathbb{K}}}_{m \text{ veces}} $ y definimos el polinomio \[ f_m = \sum_{k = 0}^{m} (-1)^{m - k} \widehat{\binom{m}{k}} X^{p^k} \in \mathbb{K}[X]. \] a) Demostrar que las raíces de $f_1$ son $ \left\{ \widehat{k} | k \in \{0,1,2, \ldots , p - 1 \} \right\}$ . b) Sea $m \in \mathbb{N}^{*}.$ Determinar el conjunto de raíces de $\mathbb{K}$ del polinomio $f_{m}.$