Termodinámica de agujeros negros El objetivo de este problema es explorar algunas propiedades interesantes de los agujeros negros. La siguiente ecuación fue obtenida por L. Smarr en 1973: \n\[ M^2 = \frac{1}{16\pi} A + \frac{4\pi}{A}\left(J^2 + \frac{1}{4}Q^4\right)+\frac{1}{2}Q^2\] \ndonde $M$ , $J$ , $Q$ y $A$ son la masa, el momento angular, la carga y el área del horizonte de eventos de un agujero negro. Para hacer contacto con la termodinámica escribimos para la entropía del Agujero Negro, \n\[S = \frac{1}{4}k_B A\] \ndonde $k_B$ es la constante de Boltzmann. Trabaje en unidades naturales $G = \hbar = c = 1$ y muestre que la ecuación para la entropía es dimensionalmente correcta. Tome $k_B = 1/8\pi$ (eligiendo unidades) y derive una expresión para $S(M,J,Q)$ . ¿Es esta expresión única? (Pista: ¿Cuál es la entropía del Agujero Negro de Schwarzschild que corresponde a $J=Q=0$ ? ) \n* Suponemos que la masa-energía $M$ (ya que $c=1$ ) juega el papel de energía interna. Muestre que $T,\Omega,\Phi$ definidos vía, \n\[ dM = T dS + \Omega dJ + \Phi dQ\] \nestán dados por, \n\begin{eqnarray*} \n& T = \frac{1}{M} \left[1- \frac{1}{16S^2}\left(J^2 + \frac{1}{4}Q^4\right)\right] \\ \n& \Omega = \frac{J}{8MS}\\\n& \Phi = \frac{Q}{2M}\left[1+\frac{Q^2}{8S}\right]. \n\end{eqnarray*} \nEsta es la analogía de la primera ley de la termodinámica. Observe de cerca la expresión para $M(S,J,Q)$ y derive la analogía de la Relación de Gibbs-Duhem familiar de la Termodinámica. Muestre que, \n\[ S \to \frac{1}{4}M^2 - \frac{1}{8}Q^2 \] \ncuando $T \to 0$ . ¿Qué dice esto sobre la tercera ley de la termodinámica? Dé razones para respaldar su respuesta. \n* Una declaración alternativa a la tercera ley es que 'es imposible alcanzar el cero absoluto en un número finito de pasos'. ¿Qué podemos concluir de la parte (e)?