$(a)$ Un plano $\pi$ pasa por el vértice $O$ del tetraedro regular $OPQR$ . Definimos $p, q, r$ como las distancias con signo de $P,Q,R$ desde $\pi$ medidas a lo largo de una normal dirigida a $\pi$ . Demuestra que \[p^2 + q^2 + r^2 + (q - r)^2 + (r - p)^2 + (p - q)^2 = 2a^2,\] donde $a$ es la longitud de una arista de un tetraedro. $(b)$ Dados cuatro planos paralelos no todos coincidentes, demuestre que existe un tetraedro regular con un vértice en cada plano. Nota: La parte $(b)$ es el Problema 6 de la IMO 1972