El triángulo acutángulo $ABC$ está inscrito en el círculo $O$. $P$ es el pie de la altura desde $A$ a $BC$, y $D$ es la intersección de $O$ y la línea $AP$. $M, N$ son los puntos medios de $AB, AC$ respectivamente. $MP$ y $CD$ se intersecan en $Q$, y $NP$ y $BD$ se intersecan en $R$. Demuestre que $AD, BQ, CR$ se encuentran en un punto si y solo si $AB=AC$.