Una función aritmética es una función con valores reales cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos. Defina el producto de convolución de dos funciones aritméticas $f$ y $g$ como la función aritmética $f * g$ , donde \[ (f * g)(n) = \sum_{ij=n} f(i) \cdot g(j),\] y $f^{*k} = f * f * \ldots * f$ ( $k$ veces) Decimos que dos funciones aritméticas $f$ y $g$ son dependientes si existe un polinomio no trivial de dos variables $P(x, y) = \sum_{i,j} a_{ij} x^i y^j$ con coeficientes reales tal que \[ P(f,g) = \sum_{i,j} a_{ij} f^{*i} * g^{*j} = 0,\] y decimos que son independientes si no son dependientes. Sean $p$ y $q$ dos primos distintos y sea \[ f_1(n) = \begin{cases} 1 & \text{ si } n = p, \\ 0 & \text{ de otro modo}. \end{cases}\] \[ f_2(n) = \begin{cases} 1 & \text{ si } n = q, \\ 0 & \text{ de otro modo}. \end{cases}\] Demuestre que $f_1$ y $f_2$ son independientes.