Sea $ABC$ un triángulo tal que cada uno de sus ángulos es mayor que $30^{\circ}$. Suponga que un círculo centrado en $P$ corta los segmentos $BC$ en $T,Q; CA$ en $K,L$ y $AB$ en $M,N$ tal que están en un círculo en sentido antihorario en ese orden. Suponga además que $PQK,PLM,PNT$ son equiláteros. Pruebe que: $a)$ El radio del círculo es $\frac{2abc}{a^2+b^2+c^2+4\sqrt{3}S}$ donde $S$ es el área. $b) a\cdot AP=b\cdot BP=c\cdot PC.$