4 Un rectángulo $ABCD$ tiene lados de longitudes $AB = m$, $AD = n$, con $m$ y $n$ primos relativos y ambos impares. Se divide en cuadrados unitarios y la diagonal $AC$ interseca los lados de los cuadrados unitarios en los puntos $A_1 = A, A_2, A_3, \ldots , A_k = C$. Demuestra que \[ A_1A_2 - A_2A_3 + A_3A_4 - \cdots + A_{k-1}A_k = {\sqrt{m^2+n^2}\over mn}. \]