N2 Hay $N$ niños en una fiesta y se sientan en círculo para jugar a Pasa y Abre. Como el anfitrión no tiene otra forma de entretenimiento, el paquete tiene infinitas capas. En el turno $i$, comenzando con $i=1$, ocurren las siguientes dos cosas en orden: $(1)$ El paquete se pasa $i^2$ posiciones en el sentido de las agujas del reloj; y $(2)$ El niño que tiene el paquete en ese momento abre una capa y reclama el premio que hay dentro. ¿Para qué valores de $N$ recibirá un premio cada niño? $Patrick \ Winter \, United \ Kingdom$