7 Juli es una matemática y diseñó un algoritmo para encontrar marido. La estrategia es: • Comience entrevistando como máximo a $1000$ posibles maridos. Asigne a cada persona una clasificación $r$ que es un entero positivo. No hay dos candidatos con la misma clasificación $r$. • Rechace a los primeros $k$ hombres y sea $H$ la clasificación más alta de estos $k$ hombres. • Después de rechazar a los primeros $k$ hombres, seleccione al siguiente candidato con una clasificación mayor que $H$ y detenga la búsqueda inmediatamente. Si ningún candidato es seleccionado después de $999$ entrevistas, se selecciona a la $1000th$ persona. Juli quiere hallar el valor de $k$ para el cual tiene la mayor probabilidad de elegir al candidato de mayor clasificación entre los $1000$ candidatos sin tener que entrevistar a los $1000$ candidatos. (a) (6 puntos:) ¿Cuál es la probabilidad de que el candidato de mayor clasificación entre los $1000$ candidatos sea el candidato $(m + 1)th$? (b) (6 puntos:) Suponga que el candidato de mayor clasificación es la persona $(m + 1)th$ en ser entrevistada. ¿Cuál es la probabilidad de que el candidato de mayor clasificación entre los primeros $m$ candidatos sea uno de los primeros $k$ candidatos que fueron rechazados? (c) (6 puntos:) ¿Cuál es la probabilidad de que el candidato con la clasificación más alta sea la persona $(m+1)th$ y de que Juli elija al hombre $(m+1)th$ usando este algoritmo? (d) (16 puntos:) La probabilidad total de que Juli elija al candidato de mayor clasificación entre los $1000$ candidatos es la suma de las probabilidades para cada valor posible de $m+1$, con $m+1$ variando entre $k+1$ y $1000$. Halle la suma. Para simplificar su respuesta, use la fórmula $In N \approx \frac{1}{N-1}+\frac{1}{N-2}+...+\frac{1}{2}+1$ (e) (6 puntos:) Halle el valor de $k$ que maximiza la probabilidad de elegir al candidato de mayor clasificación sin entrevistar a los $1000$ candidatos. Puede necesitar saber que el máximo de la función $x ln \frac{A}{x-1}$ es aproximadamente $\frac{A + 1}{e}$, donde $A$ es una constante y $e$ es el número de Euler, $e = 2.718....$