Se da el entero positivo $n$ y para todos los enteros positivos $k$ , $1\leq k\leq n$ , denotamos por $a_{kn}$ el número de todas las secuencias ordenadas $(i_1,i_2,\ldots,i_k)$ de enteros positivos que verifican las siguientes dos condiciones: a) $1\leq i_1<i_2< \cdots i_k \leq n$ ; b) $i_{r+1}-i_r \equiv 1 \pmod 2$ , para todo $r \in\{1,2,\ldots,k-1\}$ . Calcule el número $a(n) = \sum\limits_{k=1}^n a_{kn}$ .