¿Distribución de probabilidad clásica para estados cuánticos? El objetivo de este problema es tratar de imitar un enfoque de mecánica estadística a la mecánica cuántica. En la mecánica estadística clásica, uno tiene la fórmula habitual de Gibbs-Boltzmann que da la distribución de probabilidad en el espacio de fase a ser: \n\[ \rho(x_1,\dots,x_n,p_1,\dots,p_n) \sim \exp(-\beta H(x_1,\dots,x_n,p_1,\dots,p_n))\] \ndonde $H$ es el Hamiltoniano del sistema. ¿Por qué no podemos exigir una distribución de probabilidad similar sobre el espacio de fase en la mecánica cuántica? Si se da la función de onda $\psi(x_1,\dots,x_n)$ , construimos la siguiente expresión: \n\begin{align*} \n\begin{split} \n& P(x_1,\dots,x_n,p_1,\dots,p_n) \\ \n& = \left(\frac{1}{\pi\hbar}\right)^n \int_{-\infty}^{\infty} \dots \int_{-\infty}^{\infty} dy_1\dots dy_n \psi^*(x_1+y_1,\dots,x_n+y_n) \\ \n& \times \psi(x_1-y_1,\dots,x_n-y_n) \exp\left(\frac{2i}{\hbar}(p_1y_1+\dots+p_ny_n)\right) \n\end{split} \n\end{align*} \nMuestre que, \n\[ \int_{-\infty}^{\infty}\dots\int_{-\infty}^{\infty} dp_1\dots dp_n P(x_1,\dots,x_n,p_1,\dots,p_n) = \left|\psi(x_1,\dots,x_n)\right|^2\] \nque son las probabilidades correctas para las coordenadas. Muestre que, \n\[ \int_{-\infty}^{\infty}\dots\int_{-\infty}^{\infty} dx_1\dots dx_n \, P(x_1,\dots,x_n,p_1,\dots,p_n) = \left|\tilde{\psi}(p_1,\dots,p_n)\right|^2\] \nque son las probabilidades correctas para los momentos donde, \n\[ \tilde{\psi}(p_1,\dots,p_n) = \int_{-\infty}^{\infty}\dots\int_{-\infty}^{\infty} dx_1\dots dx_n \psi(x_1,\dots,x_n) \exp\left(-\frac{i}{\hbar}(x_1p_1+\dots+x_np_n)\right)\] \nes la transformada de Fourier de la función de onda $\psi(x_1,\dots,x_n)$ . Por lo tanto, la función $P$ definida anteriormente parece ser una buena candidata para una distribución de probabilidad en la mecánica cuántica. ¿Esto no contradiría la parte (a)? Dé razones para respaldar su respuesta.