10.7 Llamamos bota izquierda de altura $n \geq 2$ a la figura que se obtiene al unir un cuadrado $1 \times 1$ a la izquierda de la celda inferior de un rectángulo vertical $n \times 1$ (véase la Figura 1). De manera análoga, defina la bota derecha de altura $n \geq 2$ (véase la Figura 2). Una escalera de altura $n$ es una figura cuya $i$ -ésima fila desde arriba consta de $i$ cuadrados unitarios, y los últimos cuadrados de todas las filas forman un rectángulo vertical $n \times 1$ (véase la Figura 3). a) Halle todos los $n$ tales que una escalera de altura $n$ se pueda cortar a lo largo de las líneas de la cuadrícula en botas (de cualesquiera alturas y de ambos tipos). b) Para todos esos $n$ , halle el número mínimo de botas izquierdas necesarias para la disección. [asy] size(12cm); real w = 1; int n1 = 6; // ===================== // BRACES (AoPS-safe) // ===================== path vbraceR(pair A, pair B, real d=0.4) { pair M = (A+B)/2; return A .. controls (A+(d,0)) and (M+(d,0)) .. M .. controls (M+(d,0)) and (B+(d,0)) .. B; } path vbraceL(pair A, pair B, real d=0.4) { pair M = (A+B)/2; return A .. controls (A+(-d,0)) and (M+(-d,0)) .. M .. controls (M+(-d,0)) and (B+(-d,0)) .. B; } path hbraceD(pair A, pair B, real d=0.4) { pair M = (A+B)/2; return A .. controls (A+(0,-d)) and (M+(0,-d)) .. M .. controls (M+(0,-d)) and (B+(0,-d)) .. B; } // ===================== // FIGURE 1 (picture) // ===================== picture pic1; draw(pic1, box((0,n1-1),(w,n1))); draw(pic1, box((0,n1-2),(w,n1-1))); draw(pic1, box((0,1),(w,2))); draw(pic1, box((0,0),(w,1))); draw(pic1, box((-w,0),(0,1))); label(pic1, "$\vdots$", (w/2,n1/2)); draw(pic1, vbraceR((w,0),(w,n1))); label(pic1, "$n$", (w+1,n1/2)); label(pic1, "Figure 1", (0,-1)); // ===================== // FIGURE 2 (picture) // ===================== picture pic2; draw(pic2, box((0,n1-1),(w,n1))); draw(pic2, box((0,n1-2),(w,n1-1))); draw(pic2, box((0,1),(w,2))); draw(pic2, box((0,0),(w,1))); draw(pic2, box((w,0),(2*w,1))); label(pic2, "$\vdots$", (w/2,n1/2)); draw(pic2, vbraceL((0,0),(0,n1))); label(pic2, "$n$", (-1,n1/2)); label(pic2, "Figure 2", (0.8,-1)); // ===================== // FIGURE 3 (picture) // ===================== picture pic3; for(int i=0;i<4;++i) for(int j=0;j<2;++j) if(!(i==0 && j==1)) draw(pic3, box((i*w,j*w),(i*w+w,j*w+w))); draw(pic3, box((2*w,3*w),(3*w,4*w))); draw(pic3, box((3*w,3*w),(4*w,4*w))); draw(pic3, box((3*w,4*w),(4*w,5*w))); label(pic3, "$\cdots$", (3*w,2.5*w)); draw(pic3, vbraceR((4*w,0),(4*w,5*w))); label(pic3, "$n$", (5.2,2.5)); draw(pic3, hbraceD((0,0),(4*w,0))); label(pic3, "$n$", (2*w,-1)); label(pic3, "Figure 3", (2*w,-2)); // ===================== // PLACE FIGURES (NO OVERLAP) // ===================== add(shift((0,0)) * scale(0.9) * pic1); add(shift((6,0)) * scale(0.9) * pic2); add(shift((12,0)) * scale(0.8) * pic3); [/asy]